Hadamard Test#

量子Hadamard测试是一个用来估计量子态和量子操作的特定属性的量子算法。它可以用来测量一个量子态的相位，或者更一般地，用来测量量子态和量子门操作之间的重叠。

下面将详细解释Hadamard测试的基本步骤。这里我们考虑最简单的形式，即用来测量一个酉操作（量子门）\(U\)对应于特定量子态\(|\psi\rangle\)的效果。

Hadamard Test的设置#

我们需要两个寄存器：

控制寄存器：一个量子比特，初始状态为\(|0\rangle\)。
目标寄存器：可以是单个量子比特或者多个量子比特，其初始状态为\(|\psi\rangle\)。

Hadamard Test的步骤#

初始化：首先，我们将控制寄存器的量子比特准备在\(|0\rangle\)状态，目标寄存器的量子比特准备在\(|\psi\rangle\)状态。
应用Hadamard门：然后，我们对控制寄存器的量子比特应用一个Hadamard门\(H\)。Hadamard门会将\(|0\rangle\)和\(|1\rangle\)态变换到叠加态\(\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}\)和\(\frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}}\)。

经过这一步骤后，控制寄存器的状态变为：

\[\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}\]
控制操作：接下来，我们执行一个控制\(U\)操作。这意味着如果控制寄存器在\(|1\rangle\)状态，那么\(U\)将会作用在目标寄存器的量子比特上。如果控制寄存器在\(|0\rangle\)状态，则目标寄存器的状态不变。

操作后的整体状态变为：

\[\frac{|0\rangle \otimes |\psi\rangle + |1\rangle \otimes U|\psi\rangle}{\sqrt{2}}\]
再次应用Hadamard门：接着，我们在控制寄存器上再次应用Hadamard门。这会将控制寄存器的\(|0\rangle\)和\(|1\rangle\)分量与目标寄存器的状态进行进一步的叠加。

这时候的整体状态将是：

\[\frac{1}{2} \Big( |0\rangle \otimes (|\psi\rangle + U|\psi\rangle) + |1\rangle \otimes (|\psi\rangle - U|\psi\rangle) \Big)\]
测量控制寄存器：最后，我们测量控制寄存器。测量结果将会是\(|0\rangle\)或者\(|1\rangle\)。测量结果的概率分布取决于\(|\psi\rangle\)和\(U|\psi\rangle\)的重叠程度。

测量结果和\(|\psi\rangle\)与\(U|\psi\rangle\)的关系是：

测量控制寄存器得到\(|0\rangle\)的概率是\(P(0) = \frac{1 + \mathrm{Re}\langle\psi|U|\psi\rangle}{2}\)。
测量控制寄存器得到\(|1\rangle\)的概率是\(P(1) = \frac{1 - \mathrm{Re}\langle\psi|U|\psi\rangle}{2}\)。

通过这些概率，我们可以估计量子Hadamard测试是一种量子算法，它可以用来估计和测量量子态的某些特性，比如和一个酉操作（量子门）的相位关系。这种测试的基本思想是利用量子叠加和干涉的性质来提取信息。

代码实例#

取 \(\left|\psi\right\rangle=\frac{\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle}{\sqrt2},U=H\)，Hadamard Test的一个DeepQuantum代码实例如下：

import deepquantum as dq


def hadamard_test():
    cir = dq.QubitCircuit(2)

    # 应用Hadamard门
    cir.h(0)
    cir.h(1)
    cir.barrier()

    # 控制操作
    cir.h(1, 0)
    cir.barrier()

    # 再次应用Hadamard门
    cir.h(0)
    cir.barrier()

    # 测量控制寄存器
    cir.measure(0)

    return cir


# 绘制量子线路图
hadamard_test_circuit = hadamard_test()
hadamard_test_circuit.draw()

../../../_images/30138df054c0e5fbeee52d0dc1d0e7c3746439a8b5df817c9f47541e234546b8.png

输出结果应如下所示，分别以 \(\frac{1+\sqrt2/2}{2}\) 和 \(1-\frac{1+\sqrt2/2}{2}\) 的概率得到 \(\ket{0}\) 和 \(\ket{1}\) ：

hadamard_test_circuit()
res = hadamard_test_circuit.measure(shots=10000)

p_0 = (res['00'] + res['01']) / (res['00'] + res['01'] + res['10'] + res['11'])
p_1 = (res['10'] + res['11']) / (res['00'] + res['01'] + res['10'] + res['11'])

print('p_0:' + str(p_0))
print('p_1:' + str(p_1))

p_0:0.8447
p_1:0.1553

Hadamard Test

Contents

Hadamard Test#

Hadamard Test的设置#

Hadamard Test的步骤#

代码实例#