变分高斯玻色采样的训练

引言

受到机器学习中神经网络成功的启发，许多应用层面的量子算法依赖于变分量子线路的训练，包括：

1. 量子神经网络（Quantum Neural Networks, QNNs）：一类模仿经典神经网络结构的量子算法，它们使用可变分的量子网络来表示信息，并利用量子力学原理进行信息处理。

2. 量子支持向量机（Quantum Support Vector Machine, QSVM）：使用变分量子线路定义核函数，用于解决凸优化、分类问题等。

3. 量子近似优化算法（Quantum Approximate Optimization Algorithm, QAOA）：通过调整量子线路的参数来找到优化问题的近似最优解。

4. 变分量子本征求解器（Variational Quantum Eigensolver, VQE）：一种用于求解分子能量基态问题的量子算法，通过训练量子线路的参数来近似哈密顿量的最低本征值。

5. 量子机器学习算法（Quantum Machine Learning Algorithms）：使用可变分的量子算法来加速机器学习任务，例如量子数据编码、量子特征提取等。

6. 量子随机特征（Quantum Random Feature, QRF）：将量子计算与经典机器学习模型结合的方法，通过量子线路生成高维空间中的随机特征，以提高模型的性能。

在DeepQuantum常规量子线路中，我们也已经展示了若干从简单、中级到困难的变分量子算法的案例

对于光量子模块，光量子入门介绍演示了如何搭建含参数的光量子线路，并用Fock后端进行采样测量。

那么，对于独具特色的高斯玻色采样（Gaussian Boson Sampling，简称GBS）任务，我们是否也能完成对于变分线路的构建和训练呢？

理论基础

在关于高斯玻色采样的介绍中，我们对高斯玻色采样（GBS）进行了细致的介绍。形如玻色采样的概率分布，对于GBS设备，观察到特定输出分布\(S\)的概率\(\Pr(S)\)如下：

\[\begin{equation*} \Pr(S) = \frac{1}{\mathcal{N}} \frac{|\text{Haf}(A_S)|^2}{s_1!\ldots s_m!}, \end{equation*}\]

其中，\(S=(s_1, s_2, \ldots, s_m)\), \(s_i\)是在第\(i\)个mode探测到的光子数。 而\(\mathcal{N}\) 是一个归一化常数，\(A\)是一个任意的特征值在 \(-1\) 和\(1\)间的对称矩阵。 矩阵 \(A\)也可以通过一个常数因子进行重新缩放，相当于定义在目标概率分布中总的平均光子数。

我们希望对这种分布进行训练，以执行特定任务。例如，希望再现给定数据集的统计特性，或者优化线路以高概率采样特定模式。以此，任何变分量子算法都有可能在GBS设备上实现。

用数学随机优化模型来表示，给定一个函数\(h(S)\)和参数\(\theta\)，我们可以通过采样得到概率分布\(P_{\theta}(S)\)。而任务的目标则是找到合适的参数\(\theta\)，来最小化如下期望值：

\[\begin{equation*} C (\theta) = \sum_{S} h(S) P_{\theta}(S). \end{equation*}\]

此案例将聚焦一个简单的5节点的棒棒糖🍭图。通过变分高斯玻色采样的训练，我们期望在特定的节点观察到尽可能多的光子，而在别的节点观察到尽量少的光子。

完成此变分案例需要以下3步：（i）选用合适的方法编码参数；（ii）调用DeepQuantum模块完成GBS采样模拟；（iii）根据采样结果，选取合适损失函数和优化器完成优化。

问题转化与参数化

我们将会调用DeepQuantum中GBS模块，详情可见API文档

首先调用DeepQauntum和相关包：

import deepquantum as dq
import matplotlib.pyplot as plt
import networkx as nx
import torch
import torch.nn as nn

调用networkx包以生成5节点的棒棒糖🍭图，并获得邻接矩阵以对应GBS中特征值在 \(-1\) 和\(1\)间的的对称矩阵\(A\)。

graph = nx.lollipop_graph(3, 2)

# 计算邻接矩阵
a = nx.to_numpy_array(graph)
print('邻接矩阵A:', a)

# 可视化图像
nx.draw(graph, with_labels=True)

邻接矩阵A: [[0. 1. 1. 0. 0.]
 [1. 0. 1. 0. 0.]
 [1. 1. 0. 1. 0.]
 [0. 0. 1. 0. 1.]
 [0. 0. 0. 1. 0.]]

此时，若无参数化需要，GBS可通过邻接矩阵\(A\)采样生成概率分布\(P(S)\)：

gbs = dq.photonic.ansatz.GBS_Graph(adj_mat=a, cutoff=3, mean_photon_num=6)
gbs()

# 高斯玻色采样
sample = gbs.measure(mcmc=True)
print('采样结果为：', sample)

# 计算每个节点理论平均光子数
photon_number = gbs.photon_number_mean_var()[0]
print('每个节点平均光子数为：', photon_number)

Using MCMC method to sample the final states!

chain 1: 100%|███████████████████████████████| 203/203 [00:00<00:00, 670.23it/s]
chain 2: 100%|██████████████████████████████| 203/203 [00:00<00:00, 1292.92it/s]
chain 3: 100%|██████████████████████████████| 203/203 [00:00<00:00, 2425.01it/s]
chain 4: 100%|██████████████████████████████| 203/203 [00:00<00:00, 8826.45it/s]
chain 5: 100%|█████████████████████████████| 207/207 [00:00<00:00, 20708.41it/s]

采样结果为： {|00000>: 770, |11220>: 1, |11110>: 12, |10100>: 2, |00011>: 7, |10210>: 18, |21100>: 72, |11000>: 44, |11200>: 35, |22200>: 2, |00110>: 8, |01210>: 26, |01100>: 9, |00220>: 1, |11121>: 2, |00121>: 15}
每个节点平均光子数为： tensor([1.3273, 1.3273, 2.0721, 0.9466, 0.3268], dtype=torch.float64)

为了实现变分优化，需要编码参数\(\theta\)进GBS设备，即参数化矩阵\(A\)。论文Training Gaussian Boson Sampling Distributions中引入了“WAW”的参数化方式，即将对称矩阵\(A\)转化为

\[\begin{equation*} A \rightarrow A_W = W A W, \end{equation*}\]

其中\(W = \text{diag}(\sqrt{w_1}, \sqrt{w_2}, \ldots, \sqrt{w_m})\) 是对角权重矩阵， \(m\)是GBS模式数。 这样的构造既可以方便的通过权重\(w\)实现参数化，又保留了\(A\)对称的特性。另外，在计算\(A_W\)的hafnian值时，可通过以下分解分离参数化部分，不会额外增加hafnian的计算难度：

\[\begin{equation*} \text{Haf}(A_W) = \text{Haf}(A)\text{det}(W), \end{equation*}\]

于是，我们可以方便地编码可训练参数\(\theta = (\theta_1, \ldots, \theta_d)\) 进权重 \(w_k\)。这里，我们选用指数嵌入的形式，

\[\begin{equation*} w_k = \exp(-\theta_k), \end{equation*}\]

# 生成初始参数
nr_modes = len(a)
params = torch.randn(nr_modes, dtype=torch.float64)
print('初始化参数为: ', params)

# 编码进权重矩阵
weights = torch.exp(-params)
print('指数权重为: ', weights)
w = torch.diag(weights)
print('权重矩阵为: ', w)

# 实现WAW参数化
waw = w @ torch.tensor(a) @ w
print('WAW矩阵为: ', waw)

初始化参数为:  tensor([ 0.0129, -0.2667, -1.5915,  0.6742,  0.5164], dtype=torch.float64)
指数权重为:  tensor([0.9872, 1.3057, 4.9113, 0.5096, 0.5966], dtype=torch.float64)
权重矩阵为:  tensor([[0.9872, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000],
        [0.0000, 1.3057, 0.0000, 0.0000, 0.0000],
        [0.0000, 0.0000, 4.9113, 0.0000, 0.0000],
        [0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.5096, 0.0000],
        [0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.5966]], dtype=torch.float64)
WAW矩阵为:  tensor([[0.0000, 1.2889, 4.8483, 0.0000, 0.0000],
        [1.2889, 0.0000, 6.4127, 0.0000, 0.0000],
        [4.8483, 6.4127, 0.0000, 2.5026, 0.0000],
        [0.0000, 0.0000, 2.5026, 0.0000, 0.3040],
        [0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.3040, 0.0000]], dtype=torch.float64)

调用DeepQuantum模块完成GBS采样模拟

如前模块所示，调用DeepQuantum实现GBS采样模拟十分便捷。高斯玻色采样（GBS）分布由对称矩阵 \(A\) 决定，在经过WAW方法参数化后，我们只需要输入waw矩阵。

总的平均光子数是分布的一个超参数：一般而言，不同的选择可能会导致训练中得到不同的结果。实际上，随着权重被优化，平均光子数在训练过程中可能会发生变化，但不会影响最终相对的概率分布。

最后，GBS设备可以操作具有分辨光子数能力的探测器或阈值探测器，这里我们只使用每个模式上的平均光子数。

# 根据精度需求设定cutoff
# 设定平均光子数为6（也可设置其它）
gbs = dq.photonic.GraphGBS(adj_mat=waw, cutoff=3, mean_photon_num=6)
gbs()

# 计算每个节点理论平均光子数
photon_number = gbs.photon_number_mean_var()[0]
print('每个节点平均光子数为：', photon_number)

每个节点平均光子数为： tensor([1.0830e+00, 1.7796e+00, 2.8913e+00, 2.4493e-01, 1.1499e-03],
       dtype=torch.float64)

选取损失函数和优化器，完成优化

根据案例开头的需求，在一个5节点的棒棒糖图中，通过变分高斯玻色采样的训练，我们期望在特定的节点观察到尽可能多的光子，而在别的节点观察到尽量少的光子。不失一般性，我们致力于增加棒棒糖图的“糖果”部分中的光子数，这对应于模式子集[0, 1, 2]。

损失函数的构建很多样，先采用最简单的线性损失函数：

# 构建期望模式子集
subset = [0, 1, 2]


# 构建损失函数
def target(s):
    not_subset = [k for k in range(len(s)) if k not in subset]
    return sum(s[not_subset]) - sum(s[subset])


print('loss值为: ', target(photon_number))

loss值为:  tensor(-5.5078, dtype=torch.float64)

接下来仅需通过优化器，最小化损失函数的值，便可完成对于变分高斯玻色采样设备的训练。

为了方便调用优化器，我们整合上面代码，组合成一个VGBS的class。

graph = nx.lollipop_graph(3, 2)
a = nx.to_numpy_array(graph)
nr_modes = len(a)
subset = [0, 1, 2]
loss_history = []
result = []


class VGBS(nn.Module):
    def __init__(self):
        super().__init__()
        self.params = nn.Parameter(torch.randn(nr_modes, dtype=torch.float64), requires_grad=False)
        loss_history.clear()

    def target(self, s):
        not_subset = [k for k in range(len(s)) if k not in subset]
        return sum(s[not_subset]) - sum(s[subset])

    def loss(self, x):
        if not isinstance(x, torch.Tensor):
            x = torch.tensor(x).to(self.params.dtype).reshape(-1)
        weights = torch.exp(-x)
        w = torch.diag(weights)
        waw = w @ torch.tensor(a) @ w

        gbs = dq.photonic.GBS_Graph(adj_mat=waw, cutoff=5, mean_photon_num=6)
        gbs()
        photon_number = gbs.photon_number_mean_var()[0]
        print('每个节点平均光子数为: ', photon_number)
        loss = self.target(photon_number)

        loss_history.append(loss.item())
        result.clear()
        result.append(photon_number.tolist())

        return loss

选取DeepQuantum内建SPSA优化器，设定优化器参数，完成优化。

# 生成刚创建的VGBS模型
model = VGBS()

# 定义优化器参数
spsa_hyperparam = {'a': 1, 'c': 0.01, 'A': 200, 'nepoch': 1000, 'alpha': 0.602, 'gamma': 0.101}
optimizer = dq.optimizer.OptimizerSPSA(model.loss, model.params)
optimizer.set_hyperparam(spsa_hyperparam)
param_best = torch.tensor(optimizer.run(100)).float()

每个节点平均光子数为:  tensor([0.0797, 0.1151, 0.1557, 2.8828, 2.7667], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([0.0795, 0.1119, 0.1526, 2.8860, 2.7700], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([0.0831, 0.1228, 0.1646, 2.8750, 2.7545], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([0.0768, 0.1132, 0.1527, 2.8848, 2.7726], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([0.1362, 0.2041, 0.2594, 2.7919, 2.6084], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([0.1359, 0.2040, 0.2591, 2.7923, 2.6087], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([0.1474, 0.2213, 0.2716, 2.7745, 2.5852], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([0.1257, 0.1883, 0.2477, 2.8081, 2.6301], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.7885, 2.5958, 1.0810, 0.3255, 0.2092], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8478, 2.6258, 1.0307, 0.2985, 0.1972], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.3449, 2.8291, 0.5930, 0.1277, 0.1053], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.3449, 2.8291, 0.5930, 0.1277, 0.1053], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.3581, 2.8285, 0.5791, 0.1284, 0.1060], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.3315, 2.8297, 0.6072, 0.1271, 0.1046], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.3056, 2.8249, 0.6319, 0.1305, 0.1071], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.3404, 2.8351, 0.6004, 0.1229, 0.1012], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.4593, 2.8724, 0.4938, 0.0952, 0.0793], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.4531, 2.8637, 0.4964, 0.1020, 0.0849], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.4753, 2.8964, 0.4852, 0.0779, 0.0652], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.4788, 2.8991, 0.4876, 0.0736, 0.0609], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.4872, 2.9052, 0.4936, 0.0633, 0.0507], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.4843, 2.9018, 0.4930, 0.0668, 0.0542], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.4920, 2.9116, 0.4934, 0.0578, 0.0453], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.4918, 2.9097, 0.4955, 0.0577, 0.0452], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.4919, 2.9106, 0.4945, 0.0578, 0.0452], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.4919, 2.9106, 0.4945, 0.0578, 0.0452], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.4918, 2.9097, 0.4955, 0.0577, 0.0452], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.4920, 2.9115, 0.4935, 0.0578, 0.0453], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.4788, 2.9088, 0.5064, 0.0594, 0.0465], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5047, 2.9123, 0.4829, 0.0561, 0.0440], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5418, 2.9182, 0.4503, 0.0503, 0.0394], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5395, 2.9157, 0.4499, 0.0529, 0.0419], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5443, 2.9203, 0.4518, 0.0473, 0.0364], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5444, 2.9221, 0.4497, 0.0473, 0.0364], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5439, 2.9199, 0.4522, 0.0476, 0.0364], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5448, 2.9224, 0.4494, 0.0470, 0.0364], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5459, 2.9231, 0.4500, 0.0457, 0.0353], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5432, 2.9203, 0.4504, 0.0486, 0.0375], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5511, 2.9289, 0.4495, 0.0399, 0.0306], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5470, 2.9244, 0.4495, 0.0445, 0.0346], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5484, 2.9365, 0.4609, 0.0313, 0.0230], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5706, 2.9401, 0.4379, 0.0296, 0.0219], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5813, 2.9408, 0.4276, 0.0290, 0.0213], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5820, 2.9429, 0.4253, 0.0285, 0.0213], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5922, 2.9438, 0.4153, 0.0279, 0.0208], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5711, 2.9405, 0.4371, 0.0295, 0.0219], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.5917, 2.9445, 0.4150, 0.0280, 0.0208], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.6117, 2.9462, 0.3959, 0.0265, 0.0198], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.6289, 2.9469, 0.3789, 0.0259, 0.0194], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.6112, 2.9468, 0.3969, 0.0258, 0.0193], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.6185, 2.9461, 0.3902, 0.0258, 0.0193], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.6187, 2.9476, 0.3885, 0.0258, 0.0193], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.6274, 2.9469, 0.3805, 0.0259, 0.0194], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.6097, 2.9468, 0.3985, 0.0258, 0.0192], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.6082, 2.9468, 0.4000, 0.0258, 0.0192], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.6258, 2.9469, 0.3821, 0.0259, 0.0194], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.6252, 2.9485, 0.3825, 0.0249, 0.0188], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.6056, 2.9451, 0.4028, 0.0267, 0.0198], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.6357, 2.9501, 0.3729, 0.0235, 0.0178], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.6349, 2.9504, 0.3712, 0.0246, 0.0188], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.6274, 2.9499, 0.3821, 0.0232, 0.0174], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.6442, 2.9500, 0.3650, 0.0232, 0.0175], dtype=torch.float64)
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每个节点平均光子数为:  tensor([2.6342, 2.9494, 0.3747, 0.0237, 0.0180], dtype=torch.float64)
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每个节点平均光子数为:  tensor([2.7751, 2.9762, 0.2368, 0.0068, 0.0051], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.7854, 2.9774, 0.2258, 0.0065, 0.0049], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.7827, 2.9772, 0.2288, 0.0065, 0.0048], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.7825, 2.9770, 0.2287, 0.0067, 0.0051], dtype=torch.float64)

由优化结果可见，前三个“糖果”节点平均光子数大于“棒子”节点平均光子数，优化成功！

可视化结果

调用matplotlib库，绘制优化过程中损失函数随迭代次数下降曲线。 可见在该问题上，虽然使用的是非梯度算法，DeepQuantum自带的OptimizerSPSA优化器收敛非常迅速。

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(loss_history)
plt.xlabel('Epoch')
plt.ylabel('Loss')
plt.title('Loss over time')

Text(0.5, 1.0, 'Loss over time')

绘制棒棒糖图查看变分优化结果。 其中，每个节点的大小代表平均光子数的多少。 明显可见位于“糖果”处的平均光子数远高于“棒子”，实现了本案例训练的目标。

result_scaled = [x * 800 for x in result[0]]
nx.draw(graph, node_size=result_scaled, with_labels=True)

针对损失函数的进一步改进

我们可以观察到，在上个模块中，虽然“糖果”节点处[0，1，2]的光子数远高于其它节点，但当前的简单线性损失函数无法很好控制[0，1，2]节点的相对光子数。 不失一般性，我们如果额外要求[0，1，2]节点的光子数相等，该如何处理？

其实，这项任务本质可以被认为是：训练一个变分高斯采样线路，使其输出的概率分布与目标概率分布相一致。对于概率分布的训练可以通过最小化Kullback-Leibler（KL）散度来执行，这在去掉常数项后可以写成：

\[\begin{equation*} KL(\theta) = -\frac{1}{T}\sum_S \log[P_{\theta}(S)]. \end{equation*}\]

在这种情况下，\( S \) 是概率分布中一个元素，\( P(S) \) 是从GBS分布中抽样时观察到该元素的概率，而 \( T \) 是元素的总数。 据此，我们可以写出新的损失函数target_kl:

def target_kl(s):
    return -sum(torch.log(s[subset] / 2))

更新损失函数，再次开始优化：

class VGBS(nn.Module):
    def __init__(self):
        super().__init__()
        self.params = nn.Parameter(torch.randn(nr_modes, dtype=torch.float64), requires_grad=False)
        loss_history.clear()

    # 采用KL散度定义的损失函数
    def target_kl(self, s):
        return -sum(torch.log(s[subset] / 2))

    def loss(self, x):
        if not isinstance(x, torch.Tensor):
            x = torch.tensor(x).to(self.params.dtype).reshape(-1)
        weights = torch.exp(-x)
        w = torch.diag(weights)
        waw = w @ torch.tensor(a) @ w

        gbs = dq.photonic.GBS_Graph(adj_mat=waw, cutoff=5, mean_photon_num=6)
        gbs()
        photon_number = gbs.photon_number_mean_var()[0]
        print('每个节点平均光子数为: ', photon_number)
        loss = self.target_kl(photon_number)

        loss_history.append(loss.item())
        result.clear()
        result.append(photon_number.tolist())

        return loss


model = VGBS()
loss_history = []

# 定义优化器参数
spsa_hyperparam = {'a': 1, 'c': 0.01, 'A': 200, 'nepoch': 1000, 'alpha': 0.602, 'gamma': 0.101}
optimizer = dq.optimizer.OptimizerSPSA(model.loss, model.params)
optimizer.set_hyperparam(spsa_hyperparam)
param_best = torch.tensor(optimizer.run(1000)).float()

result_scaled = [x * 800 for x in result[0]]
nx.draw(graph, node_size=result_scaled, with_labels=True)

每个节点平均光子数为:  tensor([1.8368, 0.6379, 2.5418, 0.7347, 0.2488], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8526, 0.6104, 2.5378, 0.7458, 0.2534], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.7848, 0.7423, 2.5656, 0.6846, 0.2226], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.7688, 0.7349, 2.5487, 0.7055, 0.2421], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8428, 0.7455, 2.6103, 0.6255, 0.1759], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.7961, 0.7713, 2.5937, 0.6531, 0.1858], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8297, 0.7758, 2.6078, 0.6175, 0.1693], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.7847, 0.7535, 2.5869, 0.6764, 0.1986], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0509, 0.8821, 2.6896, 0.3270, 0.0504], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0685, 0.9028, 2.6729, 0.3063, 0.0495], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.1185, 0.9681, 2.6166, 0.2499, 0.0469], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.1185, 0.9681, 2.6166, 0.2499, 0.0469], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.1309, 0.9545, 2.6155, 0.2518, 0.0473], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.1059, 0.9818, 2.6179, 0.2480, 0.0465], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0485, 1.0338, 2.6314, 0.2414, 0.0450], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0536, 1.0480, 2.6156, 0.2383, 0.0445], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0487, 1.0849, 2.5916, 0.2316, 0.0433], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0697, 1.0422, 2.6050, 0.2385, 0.0446], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9594, 1.2492, 2.5377, 0.2129, 0.0409], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9926, 1.2139, 2.5530, 0.2037, 0.0369], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9461, 1.2649, 2.5321, 0.2155, 0.0413], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9440, 1.2635, 2.5299, 0.2185, 0.0441], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9308, 1.2827, 2.5257, 0.2187, 0.0421], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9615, 1.2471, 2.5386, 0.2123, 0.0406], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9093, 1.3077, 2.5167, 0.2232, 0.0431], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9093, 1.3077, 2.5167, 0.2232, 0.0431], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9243, 1.2903, 2.5229, 0.2201, 0.0424], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8942, 1.3250, 2.5104, 0.2264, 0.0439], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8604, 1.3518, 2.5076, 0.2344, 0.0457], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8987, 1.3319, 2.5012, 0.2246, 0.0436], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8998, 1.3326, 2.5022, 0.2231, 0.0422], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8978, 1.3311, 2.5001, 0.2261, 0.0450], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9145, 1.3156, 2.5085, 0.2200, 0.0415], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8854, 1.3496, 2.4962, 0.2261, 0.0429], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8841, 1.3435, 2.4986, 0.2309, 0.0429], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8629, 1.3832, 2.4838, 0.2262, 0.0440], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8341, 1.4487, 2.4605, 0.2123, 0.0444], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8251, 1.4410, 2.4610, 0.2255, 0.0474], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8497, 1.4619, 2.4605, 0.1896, 0.0382], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8399, 1.4536, 2.4591, 0.2040, 0.0434], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8592, 1.4669, 2.4718, 0.1705, 0.0316], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8683, 1.4806, 2.4521, 0.1678, 0.0311], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8846, 1.4700, 2.4469, 0.1680, 0.0305], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8636, 1.5084, 2.4326, 0.1641, 0.0313], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8464, 1.5562, 2.4069, 0.1587, 0.0319], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8362, 1.5424, 2.4276, 0.1615, 0.0323], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8343, 1.5735, 2.3996, 0.1604, 0.0323], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8700, 1.5546, 2.3904, 0.1540, 0.0309], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8886, 1.5404, 2.3853, 0.1546, 0.0311], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8597, 1.5645, 2.3935, 0.1519, 0.0305], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8678, 1.5517, 2.4008, 0.1498, 0.0299], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8428, 1.5845, 2.3887, 0.1532, 0.0308], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8587, 1.5708, 2.3851, 0.1544, 0.0311], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8294, 1.5949, 2.3936, 0.1516, 0.0304], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8131, 1.6084, 2.3984, 0.1500, 0.0300], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8425, 1.5842, 2.3898, 0.1528, 0.0307], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8206, 1.6172, 2.3870, 0.1454, 0.0297], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8053, 1.5998, 2.4098, 0.1548, 0.0303], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8534, 1.6251, 2.3622, 0.1315, 0.0278], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8286, 1.6560, 2.3490, 0.1361, 0.0303], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8272, 1.6511, 2.3607, 0.1324, 0.0286], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8565, 1.6279, 2.3515, 0.1348, 0.0293], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8308, 1.6492, 2.3604, 0.1317, 0.0279], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8296, 1.6482, 2.3591, 0.1335, 0.0295], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8478, 1.6399, 2.3553, 0.1295, 0.0276], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8133, 1.6583, 2.3652, 0.1346, 0.0287], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8462, 1.6282, 2.3653, 0.1327, 0.0277], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8610, 1.6454, 2.3417, 0.1247, 0.0272], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8697, 1.6558, 2.3261, 0.1207, 0.0276], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.8855, 1.6741, 2.3028, 0.1119, 0.0256], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9038, 1.6959, 2.2721, 0.1043, 0.0240], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9078, 1.6996, 2.2714, 0.0986, 0.0226], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9147, 1.7079, 2.2593, 0.0961, 0.0220], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9031, 1.6934, 2.2830, 0.0980, 0.0224], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9108, 1.7035, 2.2651, 0.0986, 0.0221], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9254, 1.7209, 2.2394, 0.0925, 0.0217], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9308, 1.7269, 2.2327, 0.0886, 0.0210], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9420, 1.7411, 2.2070, 0.0880, 0.0219], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9343, 1.7319, 2.2210, 0.0908, 0.0221], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9490, 1.7495, 2.1945, 0.0853, 0.0216], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9582, 1.7604, 2.1779, 0.0821, 0.0214], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9582, 1.7604, 2.1779, 0.0821, 0.0214], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9680, 1.7454, 2.1854, 0.0807, 0.0206], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9485, 1.7753, 2.1705, 0.0835, 0.0222], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9512, 1.7541, 2.1899, 0.0831, 0.0216], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9635, 1.7695, 2.1644, 0.0813, 0.0213], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9499, 1.7792, 2.1666, 0.0827, 0.0217], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9806, 1.7642, 2.1549, 0.0794, 0.0208], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9760, 1.7665, 2.1567, 0.0799, 0.0209], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9760, 1.7665, 2.1567, 0.0799, 0.0209], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9907, 1.7587, 2.1505, 0.0789, 0.0211], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9612, 1.7743, 2.1629, 0.0809, 0.0208], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9919, 1.7563, 2.1502, 0.0804, 0.0212], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9649, 1.7741, 2.1611, 0.0791, 0.0208], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9650, 1.7629, 2.1719, 0.0797, 0.0205], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9766, 1.7776, 2.1455, 0.0791, 0.0213], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9751, 1.7757, 2.1489, 0.0792, 0.0212], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9751, 1.7757, 2.1489, 0.0792, 0.0212], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9881, 1.7666, 2.1430, 0.0804, 0.0220], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9619, 1.7848, 2.1548, 0.0780, 0.0204], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9695, 1.7940, 2.1418, 0.0751, 0.0197], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9540, 1.7759, 2.1679, 0.0810, 0.0212], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9804, 1.8066, 2.1241, 0.0707, 0.0182], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9796, 1.8059, 2.1234, 0.0718, 0.0192], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9819, 1.8080, 2.1240, 0.0686, 0.0175], dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([1.9784, 1.8047, 2.1238, 0.0735, 0.0195], dtype=torch.float64)
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每个节点平均光子数为:  tensor([2.0022e+00, 2.0164e+00, 1.9686e+00, 1.0996e-02, 1.8581e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0126e+00, 1.9954e+00, 1.9794e+00, 1.0813e-02, 1.7619e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0026e+00, 2.0157e+00, 1.9689e+00, 1.0953e-02, 1.8183e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0129e+00, 1.9947e+00, 1.9797e+00, 1.0843e-02, 1.7944e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0029e+00, 2.0155e+00, 1.9690e+00, 1.0770e-02, 1.8176e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0130e+00, 1.9941e+00, 1.9800e+00, 1.1023e-02, 1.7942e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0025e+00, 1.9995e+00, 1.9853e+00, 1.0966e-02, 1.7825e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0134e+00, 2.0104e+00, 1.9635e+00, 1.0824e-02, 1.8297e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0079e+00, 2.0049e+00, 1.9748e+00, 1.0647e-02, 1.7343e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0075e+00, 2.0046e+00, 1.9749e+00, 1.1154e-02, 1.8789e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0132e+00, 2.0103e+00, 1.9639e+00, 1.0803e-02, 1.8221e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0023e+00, 1.9993e+00, 1.9857e+00, 1.0945e-02, 1.7751e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0074e+00, 2.0044e+00, 1.9753e+00, 1.1096e-02, 1.8342e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0077e+00, 2.0047e+00, 1.9752e+00, 1.0661e-02, 1.7619e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0128e+00, 1.9940e+00, 1.9807e+00, 1.0770e-02, 1.7480e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0023e+00, 2.0150e+00, 1.9698e+00, 1.0952e-02, 1.8434e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0080e+00, 2.0041e+00, 1.9755e+00, 1.0641e-02, 1.7566e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0077e+00, 2.0038e+00, 1.9756e+00, 1.1074e-02, 1.8286e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0027e+00, 2.0145e+00, 1.9702e+00, 1.0895e-02, 1.8015e-03],
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每个节点平均光子数为:  tensor([2.0131e+00, 1.9934e+00, 1.9810e+00, 1.0785e-02, 1.7779e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0026e+00, 1.9981e+00, 1.9866e+00, 1.0909e-02, 1.7660e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0135e+00, 2.0091e+00, 1.9649e+00, 1.0767e-02, 1.8127e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0023e+00, 1.9977e+00, 1.9870e+00, 1.1168e-02, 1.8373e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0135e+00, 2.0091e+00, 1.9652e+00, 1.0522e-02, 1.7409e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0080e+00, 2.0036e+00, 1.9756e+00, 1.1039e-02, 1.8219e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0084e+00, 2.0039e+00, 1.9754e+00, 1.0608e-02, 1.7502e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0082e+00, 2.0037e+00, 1.9755e+00, 1.0806e-02, 1.7831e-03],
       dtype=torch.float64)
每个节点平均光子数为:  tensor([2.0082e+00, 2.0037e+00, 1.9755e+00, 1.0806e-02, 1.7831e-03],
       dtype=torch.float64)

每个“糖果”节点输出近似2个光子，而其余节点几乎没有输出光子，优化结果非常完美！

附录

[1] Leonardo Banchi, Nicolás Quesada, and Juan Miguel Arrazola. Training Gaussian Boson Sampling Distributions. arXiv:2004.04770. 2020.