量子相位估计#
量子相位估计是量子计算中最重要的子程序之一，是许多量子算法的核心组成部分。该算法的目标如下：
给定一个幺正算符 \(U\) ，算法估计 \(U\vert\psi \rangle =e^{\boldsymbol{2\pi i} \theta }|\psi \rangle\) 中的 \(\theta\) 。其中 \(|\psi\rangle\) 是特征向量， \(e^{\boldsymbol{2\pi i}\theta}\) 是对应的特征值。由于 \(U\) 是幺正的，所有特征值的模为1。
算法原理#
量子相位估计算法利用相位反冲将 \(U\) 的相位（在傅里叶基下）写入计数寄存器的 \(t\) 个量子比特。然后使用逆QFT将其从傅里叶基转换到计算基，以便我们可以测量。
如上所述，量子线路估计幺正算符 \(U\) 的相位。它估计 \(U\vert\psi \rangle =e^{\boldsymbol{2\pi i} \theta }|\psi \rangle\) 中的 \(\theta\) ，其中 \(|\psi\rangle\) 是特征向量， \(e^{\boldsymbol{2\pi i}\theta}\) 是对应的特征值。线路按以下步骤运行：
初始化: \(\vert\psi\rangle\) 在一组量子比特寄存器中。另一组 \(n\) 个量子比特形成计数寄存器，我们将在其中存储值 \(2^n\theta\) ：
叠加态: 对计数寄存器应用 \(n\) 比特Hadamard门操作 \(H^{\otimes n}\) ：
受控幺正操作: 我们需要引入受控幺正 \(CU\) ，它仅在其对应的控制比特为 \(|1\rangle\) 时，在目标寄存器上应用幺正算符 \(U\) 。由于 \(U\) 是具有特征向量 \(|\psi\rangle\) 的幺正算符，使得 \(U|\psi \rangle =e^{\boldsymbol{2\pi i} \theta }|\psi \rangle\) ，这意味着：
应用所有 \(n\) 个受控操作 \(CU^{2^j}\) ，其中 \(0\leq j\leq n-1\) ，并使用关系 \(|0\rangle \otimes |\psi \rangle +|1\rangle \otimes e^{2\pi i\theta }|\psi \rangle =\left(|0\rangle +e^{2\pi i\theta }|1\rangle \right)\otimes |\psi \rangle\) ：
其中 \(k\) 表示 \(n\) 位二进制数的整数表示。
逆傅里叶变换: QFT可以将 \(n\) 量子比特输入态 \(\vert x\rangle\) 映射到输出态
将上面表达式中的 \(x\) 替换为 \(2^n\theta\) ，正好得到上面步骤2中推导的表达式。因此，为了恢复状态 \(\vert2^n\theta\rangle\) ，在辅助寄存器上应用逆傅里叶变换。这样做，我们得到
测量： 上面的表达式在 \(x = 2^n\theta\) 附近达到峰值。对于 \(2^n\theta\) 为整数的情况，在计算基上测量以很高的概率在辅助寄存器中给出相位：
对于 \(2^n\theta\) 不是整数的情况，可以证明上面的表达式仍然在 \(x = 2^n\theta\) 附近达到峰值，概率优于 \(4/\pi^2 \approx 40\%\) [1]。
示例代码#
首先，让我们准备环境，搭建量子电路。
from typing import Any, List, Optional, Union
import torch
import deepquantum as dq
import numpy as np
class QuantumFourierTransform(dq.Ansatz):
def __init__(
self,
nqubit: int,
minmax: Optional[List[int]] = None,
reverse: bool = False,
init_state: Any = 'zeros',
den_mat: bool = False,
mps: bool = False,
chi: Optional[int] = None,
show_barrier: bool = False
) -> None:
super().__init__(nqubit=nqubit, wires=None, minmax=minmax, ancilla=None, controls=None,
init_state=init_state, name='QuantumFourierTransform', den_mat=den_mat,
mps=mps, chi=chi)
self.reverse = reverse
for i in self.wires:
self.qft_block(i)
if show_barrier:
self.barrier(self.wires)
if not reverse:
for i in range(len(self.wires) // 2):
self.swap([self.wires[i], self.wires[-1 - i]])
def qft_block(self, n):
self.h(n)
k = 2
for i in range(n, self.minmax[1]):
self.cp(i + 1, n, torch.pi / 2 ** (k - 1))
k += 1
class QuantumPhaseEstimation(dq.Ansatz):
def __init__(
self,
unitary: Any,
t: int,
t_a: int,
den_mat: bool = False,
mps: bool = False,
chi: Optional[int] = None
) -> None:
self.nqubit = t + t_a
self.unitary=unitary
super().__init__(nqubit=self.nqubit, wires=None, minmax=None, ancilla=None, controls=None,
init_state='zeros', name='QuantumPhaseEstimationQubit', den_mat=den_mat,
mps=mps, chi=chi)
self.hlayer(list(range(t)))
self.barrier()
for i in range(t):
self.any(unitary=np.linalg.matrix_power(self.unitary, 2 ** (t - i)),wires=list(range(t,self.nqubit)), controls=i)
self.barrier()
iqft = QuantumFourierTransform(nqubit=self.nqubit, minmax=[0, t - 1],den_mat=self.den_mat, mps=self.mps, chi=self.chi).inverse()
self.add(iqft)
self.barrier()
self.measure(wires=list(range(t)))
#例子参数：
qubit_measurement_num=4 ##定义测量比特数，测量比特的数量影响测量相位的精度。
qubit_auxiliary_num=2 ##定义辅助比特数，辅助比特的数量对应测量的酉矩阵大小。
phase =0.19 ##定义相位
unitary = [[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,np.exp(1j*torch.pi * phase)]] ##定义被测量的U矩阵，需要为酉矩阵
state=[0,0,0,1] ##定义U矩阵对应的特征向量,2^n维度,n为辅助比特数
qpe = QuantumPhaseEstimation(unitary=unitary,t=qubit_measurement_num, t_a=qubit_auxiliary_num)
state = dq.QubitState(qubit_measurement_num+qubit_auxiliary_num, state=state).state
qpe(state=state)
##测量得到答案
res = qpe.measure(wires=list(range(qubit_measurement_num)))
print(res)
max_key = max(res, key=res.get)
print(max_key)
phase_est = int(max_key, 2) / 2 ** qubit_measurement_num
print('估计相位为：'+str(phase_est))
{'0011': 1019, '0100': 3, '0110': 2}
0011
估计相位为：0.1875
绘制量子相位估计的量子线路
qpe.draw() #绘制量子线路
附录#
[1] Nielsen M A, Chuang I L. Quantum computation and quantum information[M]. Cambridge university press, 2010.