Bell态和GHZ态

Bell态

量子Bell态，是量子力学中一个非常重要的概念，通常用来展示量子纠缠的特性。Bell态广泛应用于量子通信、量子计算和量子密钥分发等领域。

Bell态的定义

在两个量子比特的系统中，存在四个最大纠缠态，通常称为Bell态。这些状态可以由任意一对量子比特构成，具体表达式如下：

1. \(|Φ^+⟩\) $\( |Φ^+⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (|00⟩ + |11⟩) \)$ 这个状态表示两个量子比特处于同时是0和同时是1的叠加状态。

2. \(|Φ^-⟩\) $\( |Φ^-⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (|00⟩ - |11⟩) \)$ 与|Φ⁺⟩类似，不同之处在于两个量子态之间带有相对的负相位。

3. \(|Ψ^+⟩\) $\( |Ψ^+⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (|01⟩ + |10⟩) \)$ 这个状态表示第一个量子比特为0且第二个为1，以及第一个为1且第二个为0的叠加状态。

4. \(|Ψ^-⟩\) $\( |Ψ^-⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (|01⟩ - |10⟩) \)$

类似 |Ψ⁺⟩ ，但是两个量子态之间有负相位差。

Bell态的制备

Bell态可以通过1个H门和1个CNOT门制备得到，线路如下：

import deepquantum as dq
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

cir = dq.QubitCircuit(2)
cir.h(0)
cir.cx(0,1)
cir.barrier()

cir()
res=cir.measure(with_prob= True) # 打印测量结果
print(res)

# 将数据分解为X和Y轴的值
labels = list(res.keys())
values = [value[1] for value in res.values()]

# 创建条形图
plt.figure(figsize=(8, 5))  # 设置图形大小
plt.bar(labels, values)  # 绘制条形图

{'00': (488, tensor(0.5000)), '11': (536, tensor(0.5000))}

<BarContainer object of 2 artists>

画出对应的量子线路图

cir.draw()

GHZ态

GHZ态（Greenberger-Horne-Zeilinger态）是一种多体量子纠缠态，它在量子信息理论、量子计算和量子通信中具有重要的理论和应用价值。GHZ态是由Daniel Greenberger、Michael Horne和Anton Zeilinger在1989年提出的，用于展示多粒子系统中量子力学的非局域性。

GHZ态的定义

对于一个包含N个量子比特（qubits）的系统，GHZ态可以定义为如下的纠缠态：

\[ |\text{GHZ}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle^{\otimes N} + |1\rangle^{\otimes N}) \]

这里的\(|0\rangle^{\otimes N}\)表示所有N个量子比特都处于\(|0\rangle\)态，而\(|1\rangle^{\otimes N}\)表示所有N个量子比特都处于\(|1\rangle\)态。例如：

• 对于三个量子比特的GHZ态，表达式是： $\( |\text{GHZ}\rangle_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} (|000\rangle + |111\rangle) \)$

• 对于四个量子比特的GHZ态，表达式是： $\( |\text{GHZ}\rangle_{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0000\rangle + |1111\rangle) \)$

GHZ态的制备

GHZ态可以通过1个H门和多个CNOT门制备得到，3-qubit GHZ态线路如下：

cir = dq.QubitCircuit(3)
cir.h(0)
cir.cx(0,1)
cir.cx(1,2)
cir.barrier()

cir()
res=cir.measure(with_prob= True) # 打印测量结果
print(res)

# 将数据分解为X和Y轴的值
labels = list(res.keys())
values = [value[1] for value in res.values()]

# 创建条形图
plt.figure(figsize=(8, 5))  # 设置图形大小
plt.bar(labels, values)  # 绘制条形图

{'000': (543, tensor(0.5000)), '111': (481, tensor(0.5000))}

<BarContainer object of 2 artists>

画出对应的量子线路图

cir.draw()

更一般的情况，N-qubit GHZ态线路如下：

def GHZ_N(N):
    cir = dq.QubitCircuit(N)
    cir.h(0)
    for i in range(N-1):
        cir.cx(i,i+1)

    return cir

设置 N=10，我们可以观察生成的 N-qubit GHZ 态：

N=10
cir=GHZ_N(N)
cir.barrier()
cir()
res=cir.measure(with_prob= True) # 打印测量结果
print(res)

# 将数据分解为X和Y轴的值
labels = list(res.keys())
values = [value[1] for value in res.values()]

# 创建条形图
plt.figure(figsize=(8, 5))  # 设置图形大小
plt.bar(labels, values)  # 绘制条形图

{'1111111111': (494, tensor(0.5000)), '0000000000': (530, tensor(0.5000))}

<BarContainer object of 2 artists>

画出对应的量子线路图

cir.draw()